Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，上、下底面的面積之比為，側(cè)面底面，并且.

（1）平面平面，證明：；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由題意可知，結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此可得題中的結(jié)論；

（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由題意求得平面的法向量為，平面的法向量為，據(jù)此求解平面與平面所成二面角的正弦值即可.

（1）幾何體為棱臺(tái)，

平面平面

平面，平面平面

（2），則面積之比為相似比的平方，而

過點(diǎn)作交于，由于側(cè)面底面為交線，底面.在中，易求得為線段的四等分點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則有，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)平面的法向量為

可得

設(shè)平面的法向量為

故平面與平面所成二面角的正弦值為.