Question

（A類）已知函數g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數f（x）=log

3

（x+a）的圖象上．
（1）求實數a的值；                （2）解不等式f（x）＜log

3

a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有兩個不等實根時，求b的取值范圍．
（B類）設f（x）是定義在R上的函數，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；     （2）求證：f（x）為奇函數；
（3）若函數f（x）是R上的增函數，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（A類）（1）利用指數函數的圖象和性質即可得函數g（x）所過定點，代入函數f（x）的解析式即可求得a的值，（2）利用對數函數的定義和單調性解不等式即可，（3）將方程等價轉化為|2^x-1|=2b，畫出函數y=|2^x-1|的圖象，數形結合即可得b的范圍
（B類）（1）利用賦值法，令x=y=0，即可得f（0），（2）利用賦值法和奇函數定義，令y=-x，即可證明，（3）先計算出f（2）=2，再將不等式等價轉化為f（2a）＞f（a+1），最后利用單調性解不等式即可

解答：A類：解：（1）∵函數g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A
∴A點的坐標為（2，2）
又因為A點在f（x）=log

3

（x+a）的圖象上，
∴2=log

3

（2+a）
即a+2=3
∴a=1                          
（2）∵不等式f（x）＜log

3

a?log

3

（x+1）＜log

3

1=0
?0＜x+1＜1
?-1＜x＜0         
∴不等式f（x）＜log

3

a的解集為（-1，0）
（3）∵g（x）=2^x-2+1
∴g（x+2）=2^x+1
∴|g（x+2）-2|=2b?|2^x+1-2|=2b?|2^x-1|=2b
函數y=|2^x-1|的圖象如圖1，
要使|g（x+2）-2|=2b有兩個不等實根
由圖象可知需0＜2b＜1，
故b的取值范圍為（0，

1

2

）            
B類：解：（1）令x=y=0
則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x
則f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）為R上的奇函數                               
（3）令x=y=1
則f（1+1）=f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（2）=2
∴f（2a）＞f（a-1）+2?f（2a）＞f（a-1）+f（2）?f（2a）＞f（a+1）
又∵f（x）是R上的增函數，所以2a＞a+1
即a＞1
∴a的取值范圍為（1，+∞）

點評：本題綜合考查了指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，抽象表達式的意義，利用函數圖象和單調性解不等式等