Question

【題目】若存在常數 k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得無窮數列 {a n }滿足a n +1，則稱數列{an }為“段差比數列”，其中常數 k、d、t 分別叫做段長、段差、段比．設數列 {bn }為“段差比數列”．

（1）已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比數列，求 d 、 t 的值；

（2）已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、3 、3 、1，其前 3n 項和為 S3n ．若不等式 S3n≤ λ 3n1對 n ∈ N *恒成立，求實數 λ 的取值范圍；

（3）是否存在首項為 b，段差為 d（d ≠ 0 ）的“段差比數列” {bn }，對任意正整數 n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 寫出所有滿足條件的 {bn }的段長 k 和段比 t 組成的有序數組 (k, t )；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2） （3） ，，，

【解析】

（1）的前4項依次為1，，，，先求出，再代入驗證，可得結論；

（2）由的首項、段長、段比、段差，

，

是等差數列，又，即可求，從而求實數的取值范圍；

（3）取2，3，4時存在，有序數組可以是，，，．

解：（1）的前4項依次為1，，，，

由前三項成等比數列得，

，，

那么第2，3，4項依次為，，，，．

時，，，滿足題意；

時，，，滿足題意；

（2）的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，

，

是以為首項、6為公差的等差數列，

又，

，

，，

設，則，

又，

當時，，；當時，，，

，，

，得，．

（3）取2，3，4時存在，有序數組可以是，，，．