Question

【題目】已知函數 ．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數y=g（x）對任意x滿足g（x）=f（4﹣x），求證：當x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x1≠x2 ， 且f（x1）=f（x2），求證：x1+x2＞4．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，∴f'（x）= ．

令f'（x）=0，解得x=2．

x	（﹣∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在（﹣∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數．

∴當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=

（2）證明： ， ，

∴F'（x）= ．

當x＞2時，2﹣x＜0，2x＞4，從而e4﹣e2x＜0，

∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函數．

∴

（3）解：證明：∵f（x）在（﹣∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數．

∴當x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一單調區間內．

不妨設x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），

又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．

∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．

∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在區間（﹣∞，2）內為增函數，

∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．

【解析】（1）先求出其導函數，利用導函數值的正負對應的區間即可求出原函數的單調區間進而求出極值；（2） ，求出其導函數利用導函數的值來判斷其在（2，+∞）上的單調性，進而證得結論．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數，故x1、x2不可能在同一單調區間內；設x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再結合單調性即可證明結論．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．