Question

已知函數f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）在[a，a+2]上的最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數y=f（x）在R上至少有一個零點?方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一個實數根?△≥0，解出即可；
（II）通過對區間[a，a+2]端點與對稱軸頂點的橫坐標2的大小比較，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由函數y=f（x）在R上至少有一個零點，
即方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一個實數根．
∴△=16-4（a+3）≥0，
解得a≤1．
（Ⅱ）函數f（x）=x²-4x+a+3圖象的對稱軸方程是x=2．
①當a+1≤2，即a≤1時，ymax=f(a)=a2-3a+3=3．
解得a=0或3．
又a≤1，
∴a=0．
②當a+1＞2，即a＞1時，ymax=f(a+2)=a2+a-1=3
解得a=

-1± 17

2

．
又a＞1，∴a=

-1+ 17

2

．
綜上可知：a=0或

-1+ 17

2

．

點評：本題考查了二次函數零點與一元二次方程的實數根的關系、一元二次方程的實數根與判別式△的關系、二次函數的單調性、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．