Question

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.
(1)求證:平面PBC⊥面PDC
(2)設E為PC上一點,若二面角B-EA-P的余弦值為-,求三棱錐E-PAB的體積.

Answer 1

(1)見解析
(2)

(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得
PB²=PA²+AB²-2AB·PAcos60⁰=4+1-2×1×2×=3
∴PA²=PB²+AB²,即AB⊥PB
∵DA⊥面ABP,CB∥DA
∴CB⊥面ABPCB⊥AB ,∴AB⊥面PBC
又DC∥AB,∴DC∥面PBC
∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC
(2)如圖建立空間直角坐標系

則A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)
設E(x,y,z),= (0<<1)
則(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=
設面ABE的法向量為n=(a,b,c),則
令c=n=(,0,)
同理可求平面PAE的法向量為m=(1,,)
∵cos<n,m>====
∴=或=1(舍去)
∴E(,0,)為PC的中點,其豎坐標即為點E到底面PAB的距離
∴V_E-PAB=××1××=