Question

已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)²，a，b是常數．
(1)若a≠b，求證：函數f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x₁，x₂，設點A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))．如果直線AB的斜率為－，求函數f(x)和f′(x)的公共遞減區間的長度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數m，a，b滿足的條件．

Answer 1

（1）見解析    （2）公共減區間為或，長度均為
（3）m＝，a＝b≤0.

解：(1)證明：
f′(x)＝(x－b)[3x－(2a＋b)]，
因為a≠b，所以b≠，
所以f′(x)＝0有兩個不等實根b和，
所以f(x)存在極大值和極小值．
(2)①當a＝b時，f(x)不存在減區間；
②當a>b時，由(1)知x₁＝b，x₂＝，
所以A(b,0)，B，
所以＝－，
即4(a－b)³＝9(a－b)，
所以a－b＝或a－b＝－(舍去)；
③當a<b時，x₁＝，x₂＝b.
同理可得a－b＝－或a－b＝(舍去)．
綜上，a>b且a－b＝或a<b且a－b＝－.
所以f(x)的減區間為，即(b，b＋1)或f(x)的減區間為，即(b－1，b)；
f′(x)的減區間為或.
所以公共減區間為或，長度均為.
(3)由題意f(x)≥mxf′(x)，
所以(x－a)(x－b)²≥mx(x－b)[3x－(2a＋b)]，
所以(x－b){(1－3m)x²＋[m(2a＋b)－(a＋b)]x＋ab}≥0.
若m≠，則左邊是一個一次因式乘一個恒正(或恒負)的二次三項式，或者是三個一次因式的積，無論哪種情況，總有一個一次因式的指數是奇次的，這個因式的零點左右的符號不同，因此不可能恒非負．
所以m＝，
所以(x－b)[(a＋2b)x－3ab]≤0.
若a＋2b＝0，則a＝－2b，所以a＝b＝0；
若a＋2b≠0，則x₁＝b，x₂＝，
所以
①若b＝0，則a<0；
②若b≠0，則＝1，所以a＝b且b<0.
綜上，m＝，a＝b≤0.