Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調性；

（3）設、為曲線上的任意兩點，并且，若恒成立，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）若， 在上遞增；若，時，單調遞增；，單調遞減；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將代入可得函數解析式,求得導數并代入求得切線的斜率.將代入函數可得切點坐標,由點斜式即可求得切線方程.

（2）先求得導函數,對分類討論,根據導函數的符號即可判斷單調性.

（3）根據恒成立及（2）中函數單調性的討論,可求得.代入函數并結合不等式即可得.利用定義作差,得,化簡后即可證明.

（1）當時,,

對函數求導得,

∴,又,

∴曲線在處的切線方程為：；

（2）求導得,

若,,在上遞增；

若,當時,,單調遞增；

當時,,單調遞減.

（3）由（2）知,若,在上遞增,

又,故不恒成立.

若,當時,遞減,,不合題意.

若,當時,遞增,,不合題意.

若,在上遞增,在上遞減,,合題意.

故,且（當且僅當時取“”）.

設,,

∴,

因此,

即