Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1( 0， -

3

)，F2(0， 

3

)，點(diǎn)P在橢圓上且滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：2x+y+2=0與橢圓C的交點(diǎn)為A，B．
（i）求使△PAB的面積為

1

2

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；
（ii）設(shè)M為橢圓上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OM

=λ

OA

+μ

OB

(λ，μ∈R)，求λ²+μ²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（i）把直線l方程代入橢圓的方程，求出線段AB的長(zhǎng)度，由三角形的面積求出三角形的高是

5

5

，寫出與AB平行且到AB的距離等于

5

5

直線方程，考查此直線與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（ii）設(shè)M（x，y），則M（x，y）滿足橢圓的方程，由題中條件用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出λ和μ，計(jì)算λ²+μ²的值．

解答：解：（Ⅰ）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴點(diǎn)P滿足的曲線C的方程為橢圓
∵2a=4，?c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+

y2

4

=1．（4分）

（Ⅱ）（i）∵直線l：2x+y+2=0與橢圓C的交點(diǎn)為A，B
∴A（-1，0），?B（0，-2），|AB|=

5

若S△PAB=

1

2

|AB|d=

1

2

∴d=

5

5

∵原點(diǎn)O到直線l：2x+y+2=0的距離是

2

5

=

2 5

5

＞

5

5

∴在直線l：2x+y+2=0的右側(cè)有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)
設(shè)直線l′：2x+y+n=0與橢圓相切，則

2x+y+n=0 x2+ y2 4 =1

有且只有一個(gè)交點(diǎn)
∴8x²+4nx+n²-4=0有且只有一個(gè)解
由△=0解得n=2

2

（設(shè)負(fù)）
此時(shí)，l′與l間距離為

2 2 -2

5

＜

1

5

∴在直線l：2x+y+2=0的左側(cè)不存在符合條件的P點(diǎn)
∴符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．（10分）

（ii）設(shè)M（x，y），則x，y滿足方程：x2+

y2

4

=1
∵

OM

=λ

OA

+μ

OB

(λ，μ∈R)
∴（x，y）=λ（-1，0）+μ（0，-2）=（-λ，-2μ）
即：

x=-λ y=-2μ

，從而有

λ=-x μ=- y 2

∴λ2+μ2=x2+

y2

4

=1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題．