Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E在線段BD上，點F在線段B₁C上．
（Ⅰ）若E、F分別為線段BD，B₁C的中點，求直線EF與直線C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）若EF⊥BD，EF⊥B₁C，求線段EF的長度．

Answer 1

分析：（I）以{

DA

，

DC

，

DD1

}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，求出各頂點的坐標，進而求出向量

C1D1

和

EF

，代入向量夾角公式，即可得直線EF與直線C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）先設E（m，m，0），F（n，2，n），則

EF

=(n-m，2-m，n)，利用向量垂直的條件求出m，n的值，從而得出向量

EF

的坐標，最后利用向量模的公式求出線段EF的長度．

解答：解：（Ⅰ）以{

DA

，

DC

，

DD1

}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則C₁（0，2，2）D₁（0，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），
所以

C1D1

=(0，-2，0)，

EF

=(0，1，1)，…（4分）
cos＜

C1D1

，

EF

＞=

C1D1 • EF

| C1D1 || EF |

=

-2

2 2

=-

2

2

…（6分）
又因為直線EF與直線C₁D₁所成的角范圍為(0，

π

2

]
所以直線EF與直線C₁D₁所成角為

π

4

…（8分）
（Ⅱ）設E（m，m，0），F（n，2，n），
則

EF

=(n-m，2-m，n)，
因為D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0）
所以

DB

=(2，2，0)，

CB1

=(2，0，2)…（10分）
由題意得，

EF

•

DB

=0，

EF

•

CB1

=0，
即

2(n-m)+2(2-m)=0 2(n-m)+2n=0

，解得

m= 4 3 n= 2 3

…（12分）
所以E(

4

3

，

4

3

，0)，F(

2

3

，2，

2

3

)，所以

EF

=(-

2

3

，

2

3

，

2

3

)，…（14分）|

EF

|=

(- 2 3 )2+( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2 3

3

即線段EF的長度為

2 3

3

…（16分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查異面直線及其所成的角以及點、線、面間的距離計算，正確求出向量的坐標是關鍵．