（本題滿分12分）如圖，在正四棱錐
中，
,點
在棱
上． (Ⅰ)問點在何處時，
，并加以證明；(Ⅱ)當時,求點
到平面
的距離；(Ⅲ)求二面角
的大小.
(Ⅰ) 見解析（Ⅱ) 
（Ⅲ）
法一: (Ⅰ)當E為PC中點時，
．………2分
連接AC，且
，由于四邊形ABCD為正方形，
∴O為AC的中點，又E為中點，
∴OE為△ACP的中位線，
∴
，又
，∴……4分
(Ⅱ) 點
到平面
的距離等于點
到平面
在正△DPC和正△BPC中，由于E為PC中點，
∴PC⊥DE，PC⊥BE ，又
，
∴
，PE即為所求，
∴點到平面的距離為．………………………8分
(Ⅲ)連接PO，則
，∴
，又BO⊥AC，
∴
點
作
，垂足為
，連接
.
由三垂線定理得
.
為二面角
的平面角. ………10分
在
中，
，
.
又
， 
故二面角
的正弦值為
.
故. ………12分
解法二: (Ⅱ)作,依題意
是正方形
的中心,如圖建立空間坐標系.
則
,
, 
，
．
∴
，
，
，
設面的法向量為
, ……………… 6分
點到平面的距離為
. ………………8分
(Ⅲ)設二面角的平面角為
，平面
的法向量為
.
設平面
的法向量為
, 
.………10分
. 
……………12分
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源：2014屆江西高安中學高二上期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形
為底面的直棱柱被平面
所截而得. 
，
為
的中點．
（1）當
時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（2）當
為何值時，在棱
上存在點
，使
平面？
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省八市高三3月聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分12分）如圖，在長方體
中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側棱
，為
中點，
為
中點，
為
上一個動點.
（Ⅰ）確定點的位置，使得
；
（Ⅱ）當時，求二面角
的平
面角余弦值.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣西桂林中學高三7月月考試題理科數學 題型：解答題
（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點．
⑴求異面直線PD與AE所成角的大小；
⑵求證：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.
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科目：高中數學 來源：2011年湖南省招生統一考試文科數學 題型：解答題
（本題滿分12分）
如圖3，在圓錐
中，已知
的直徑
的中點．
（I）證明：
（II）求直線和平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源：2010年海南省高三五校聯考數學（文） 題型：解答題
（本題滿分12分）
如圖，三棱錐S—ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點，SA=SB=SC。
（1）求證：BC⊥平面SDE；
（2）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S—ABC的體積。
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