Question

【題目】已知，當點在的圖象上運動時，點在函數的圖象上運動.（其中）.

（1）求的表達式；

（2）設集合，，若（為空集），求實數的取值范圍；

（3）設，若函數（）的值域為，求實數、的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） ，.

【解析】

根據點在的圖象上運動,可得，點在函數的圖象上運動,可得,由此可得,利用換元令,即可得到的表達式.

由可知與的表達式，因為，可得方程存在大于負2的實數解,分離參數,使為關于的表達式，求出關于的函數的值域即可.

由可知的表達式,從而可得,利用函數和函數在的單調性可判斷出在上的單調性,從而可得在區間上的單調性,求出在區間上的最值,進而得到關于的方程,解方程即可.

因為點在函數的圖象上運動，且,

所以,令則,

所以.

因為,

所以,，

所以,

因為,所以存在使,

即存在使，

即方程有大于負2的實數根,

因為,

所以,

令則,

即,因為，所以,

所以的取值范圍為.

因為，所以 ，

所以,

所以,

因為函數和函數在上均為減函數,

所以函數在上為減函數,

因為,所以可得在區間上為減函數,

所以,，

因為函數在區間上的值域為,

所以,

,

解得故所求的的值為