Question

【題目】（本小題滿分分）

已知圓，過點作直線交圓于、兩點．

（Ⅰ）當經過圓心時，求直線的方程．

（Ⅱ）當直線的傾斜角為時，求弦的長．

（Ⅲ）求直線被圓截得的弦長時，求以線段為直徑的圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】試題分析：（1）求出圓的圓心，代入直線方程，求出直線的斜率，即可求直線l的方程；（2）當直線l的傾斜角為45°時，求出直線的斜率，然后求出直線的方程，利用點到直線的距離，半徑，半弦長的關系求弦AB的長；（3）利用垂徑公式，明確是的中點，進而得到以線段為直徑的圓的方程．

試題解析：

（）圓的方程可化為，圓心為，半徑為．

當直線過圓心， 時， ，

∴直線的方程為，即．

（）因為直線的傾斜角為且過，所以直線的方程為，即．

圓心到直線的距離，

∴弦．

（）由于，而弦心距，

∴，∴是的中點．

故以線段為直徑的圓圓心是，半徑為．

故以線段為直徑的圓的方程為．