Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別是，的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形后即可得，再根據線面平行的判定即可得證；

（Ⅱ）由等腰三角形的性質和線面垂直的性質可得、，則可證平面，再根據面面垂直的判定即可得證；

（Ⅲ）建立空間直角坐標系后，表示出各點坐標，求出平面的一個法向量為，，利用即可得解.

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，，

因為是的中點，

所以，且，

在三棱柱中，

因為是的中點，所以，且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）證明：因為，且是的中點，所以，

因為平面，平面，

所以，

又 ，，平面，所以平面，

又，所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

設平面的一個法向量為，

則即，

令，則.

設直線與平面所成角為，

則.

即直線與平面所成角的正弦值為.