Question

函數f（x）是（0，+∞）上的單調遞增函數，當n∈N^*時，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，則f（1）的值等于（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先確定f（1）≥2，進而可確定f（2）≤f（f（1））=3，f（3）≥f（f（2））=6，f（6）≤f（f（3））=9，從而可得結論．

解答：解：∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，且f（1）≠1 （若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與f（1）=1矛盾）
∵f（x）∈N^*
∴f（1）≥2
∵f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，f[f（n）]=3n 
∴f（2）≤f（f（1）），∵f（f（1））=3，∴f（2）≤3
∴f（3）≥f（f（2）），∵f（f（2））=6，∴f（3）≥6
∴f（6）≤f（f（3）），∵f（f（3））=9，∴f（6）≤9
∵當n∈N^*時，f（n）∈N^*，即f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）均為整數，
且f（x）為定義域內的增函數，
∴f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6）
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=7，f（5）=8，f（6）=9
故選B．

點評：本題考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．