Question

【題目】如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，米，廣場(chǎng)的一角是半徑為米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅（寬度不計(jì)），點(diǎn)在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為元，單人弧形椅的造價(jià)每米為元，記銳角，總造價(jià)為元．

（1）試將表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；

（2）如何選取點(diǎn)的位置，能使總造價(jià)最�。�

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）總造價(jià)由兩部分組成，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得，而切線長(zhǎng)需構(gòu)造直角三角形或借助坐標(biāo)求解，最后由線段長(zhǎng)為正，可得的取值范圍（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析函數(shù)單調(diào)性變化趨勢(shì)，確定極值點(diǎn)，即最值點(diǎn).

試題解析：解：（1）過(guò)作的垂線，垂足為；過(guò)作的垂線，垂足為．

在中，，則

在中，，

由題意易得

因此，

（2）

令， ，因?yàn)?/span>，所以 ，

設(shè)銳角滿足，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

所以當(dāng) ，總造價(jià)最小，最小值為，此時(shí)，，，因此當(dāng)米時(shí)，能使總造價(jià)最小．