Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x）且f（x）在[-1，0]上是增函數，給出下列四個命題：
①f（x）是周期函數；
②f（x）的圖象關于x=l對稱；
③f（x）在[l，2l上是減函數；
④f（2）=f（0），
其中正確命題的序號是

①②④

．（請把正確命題的序號全部寫出來）

Answer 1

分析：①利用周期性的定義判斷．②利用對稱性判斷．③利用單調性和周期性的關系判斷．④利用函數的性質去求值．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），即函數的周期是2，所以f（x）是周期函數，所以①正確．
②因為函數f（x）為偶函數，所以f（x+2）=f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）的圖象關于x=l對稱，所以②正確．
③因為f（x）是周期為2的周期函數，且函數f（x）在[-1，0]上是增函數，所以f（x）在[l，2l上是增函數，所以③錯誤．
④因為f（x）是周期為2的周期函數，所以f（x+2）=f（x），即f（2）=f（0），所以④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題的考點是函數的性質的綜合考查．對于函數的奇偶性、周期性、對稱性和單調性的判斷和應用要熟練掌握．