Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

2

（a_n²+a_n），a_n＞0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n-1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在正整數m，使得m≤T_n＜m+3．對任意正整數n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用公式法求得a_n-a_n-1=1，由等差數列定義的數列{a_n}是等差數列，即可求得通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求得數列和，由數列的遞增性及放縮法即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，

a

2 n-1

+a_n-1-2S_n-1=0，
∴（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
又當n=1時，

a

2 1

+a₁-2a₁=0，∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（Ⅱ）∵T_n=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，
∴

1

2

T_n=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
兩式相減得

1

2

T_n=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n，
T_n=4[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n+1=4-4•(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=4-（2n+4）(

1

2

)n，
∴T_n＜4，
又∵T_n+1-T_n=4-（2n+6）(

1

2

)n+1-4+（2n+4）(

1

2

)n=(

1

2

)n（n+1）＞0，
∴T_n≥T₁=1，
∴存在正整數m=1滿足題意．

點評：本題主要考查數列通項公式及前n項和的求法，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．