Question

已知函數f（x）=

x

ax+b

（a，b為常數，且a≠0）滿足f（2）=1且方程f（x）=x有唯一解，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：先根據 f(x)=

x

ax+b

=x的方程有唯一解，整理成一元二次方程，求得a和b的關系，進而根據f（2）=1求得a和b，則函數f（x）解析式可得．

解答：解：由f（2）=1?

2

2a+b

=1，
化簡得2a+b=2，又∵f（x）=x有一個解，
∴

x

ax+b

=x有一個解，即方程ax2+(b-1)x=0(x≠-

b

a

）有唯一解或b=0，
∴△=（b-1）²=0?b=1，又2a+b=2，∴a=

1

2

，
或a=1，b=0．
此時方程有唯一解x=0，滿足x≠-

b

a

．
故所求為f（x）=

2x

x+2

或1．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用．解題的過程重點根據方程得的情況判斷判別式與0的關系．