Question

在△ABC中，頂點A，B，動點D，E滿足：①；②，③共線.
（Ⅰ）求△ABC頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與頂點C的軌跡有兩個不同交點M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(I)設C（x,y）,由得，動點的坐標為；
由得，動點E在y軸上，再結合與共線，
得，動點E的坐標為;                 …………2分
由的，，
整理得，.
因為的三個頂點不共線，所以，
故頂點C的軌跡方程為.…………5分
(II)假設存在這樣的圓，其方程為，
當直線MN的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓的方程，
得，
設M，N，
則，
所以 (*)…………7分
由，得0，
即，
將式子(*)代入上式，得.…………9分
又直線MN：與圓相切知：.
所以，即存在圓滿足題意；
當直線MN的斜率不存在時，可得，滿足.
綜上所述：存在圓滿足題意.

略