Question

【題目】如圖（甲），是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，將沿折成四棱錐，使，如圖（乙）．

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)論成立；

（2）由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及直線的方向向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

（1）證明：在中，，，，

所以，

則有，即．

又因?yàn)?/span>，，平面，

所以平面．

（2）由（1）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．

則，，，，易知P在底面的射影為AC與BD的交點(diǎn)，所以

．

，，．

設(shè)平面的法向量為，直線和平面所成角為，

則即

令，得．

，

所以直線和平面所成角的正弦值為．