Question

已知兩定點(diǎn)F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），滿足條件|PF₂|-|PF₁|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)（0，-1）的直線與曲線E交于A，B兩點(diǎn)．如果|AB|=6

3

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件|PF₂|-|PF₁|=2，利用雙曲線的定義，可求曲線E的方程；
（2）直線方程代入雙曲線方程，利用直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，求出k的范圍，再利用|AB|=6

3

，求出k的值，從而可求直線AB的方程．

解答：解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c=

2

，a=1，
∴b=

c2-a2

=1，故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0，
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，有

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，
解得-

2

＜k＜-1．
∵|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，
∴28k⁴-55k²+25=0，
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

，
∵-

2

＜k＜-1，
∴k=-

5

2

，
∴直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．