Question

【題目】已知，函數，其中e=2.71828…為自然對數的底數．

（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；

（Ⅱ）記x0為函數在上的零點，證明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.

【解析】

（I）先利用導數研究函數單調性，再結合零點存在定理證明結論；

（II）（i）先根據零點化簡不等式，轉化求兩個不等式恒成立，構造差函數，利用導數求其單調性，根據單調性確定最值，即可證得不等式；

（ii）先根據零點條件轉化：，再根據放縮，轉化為證明不等式，最后構造差函數，利用導數進行證明.

（I）在上單調遞增，

，

所以由零點存在定理得在上有唯一零點；

（II）（i），

，

令

一方面： ，

在單調遞增，，

，

另一方面：，

所以當時，成立，

因此只需證明當時，

因為

當時，，當時，，

所以，

在單調遞減，，，

綜上，.

（ii），

，，

，因為，所以，

，

只需證明，

即只需證明，

令，

則，

，即成立，

因此.