Question

（2012•陜西三模）設動點P（x，y）（x≥0）到定點F(

1

2

，0)的距離比到y軸的距離大

1

2

．記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設圓M過A（1，0），且圓心M在P的軌跡上，BD是圓M 在y軸的截得的弦，當M 運動時弦長BD是否為定值？說明理由；
（Ⅲ）過F(

1

2

，0)作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S，求四邊形面GRHS的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動點P（x，y）（x≥0）到定點F(

1

2

，0)的距離比到y軸的距離大

1

2

，知動點P（x，y）為以F(

1

2

，0)為焦點，直線l：x=-

1

2

為準線的拋物線，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設圓心M(

a2

2

，a)，半徑r=

(1- a2 2 )2+a2

，圓的方程為(x-

a2

2

)2+(y-a)2=a2+(1-

a2

2

)2．由此能導出當M運動時弦長BD為定值．
（3）設過F的直線方程為y=k(x-

1

2

)，G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，由此能求出四邊形GRHS的面積的最小值．

解答：解：（1））∵動點P（x，y）（x≥0）到定點F(

1

2

，0)的距離比到y軸的距離大

1

2

，
∴動點P（x，y）為以F(

1

2

，0)為焦點，直線l：x=-

1

2

為準線的拋物線，
∴點P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設圓心M(

a2

2

，a)，半徑r=

(1- a2 2 )2+a2

，
圓的方程為(x-

a2

2

)2+(y-a)2=a2+(1-

a2

2

)2，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴BD=2
故弦長BD為定值2．
（3）設過F的直線方程為y=k(x-

1

2

)，
G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
由韋達定理得x1+x2=1+

2

k2

，
GH=2+

2

k2

同理得RS=2+2k²，
∴四邊形GRHS的面積T=

1

2

(2+

2

k2

)(2+2k2)=2(2+k2+

1

k2

)≥8．
故四邊形面GRHS的最小值為8．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，探索弦長是否為定值，求四邊形面積的最小值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．