Question

【題目】在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）

①對任意三點A、B、C，都有

②已知點P(3,1)和直線則

③到定點M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等點的軌跡是正方形；

④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點。

其中真命題的個數是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①討論，，三點共線，以及不共線的情況，結合圖象和新定義，即可判斷；

②運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；

③設點是直線上一點，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數的性質，可得最小值；

④討論在坐標軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．

解：①對任意三點、、，若它們共線，設，、，，

，，如右圖，結合三角形的相似可得，，

為，，，或，，，則，，，；

若，或，對調，可得，，，；

若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，

，，，；

則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；

②到原點的“切比雪夫距離”等于1的點，即為，，若，則；

若，則，故所求軌跡是正方形，則②正確；

③設點是直線上一點，且，

可得，，

由，解得，即有，

當時，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，，，．無最值，

綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．

故③正確；

④定點、，動點

滿足，，，

可得不軸上，在線段間成立，

可得，解得，

由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；

若在第一象限內，滿足，，，

即為，為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點的軌跡與直線為常數）有且僅有2個公共點．

故④正確；

故選：