Question

如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設為中點，點在線段上且．

（1）求證：平面；
（2）設二面角的大小為，若，求的長．

Answer 1

( 1 )證明過程詳見解析;(2) .

試題分析：
(1)利用三角形的余弦定理和勾股定理即可證明為直角三角形,即.再根據垂直的判斷可以得到相互垂直,即可以以這三條邊建立三維空間直角坐標系,利用坐標法來證明線面平行,首先求出平面ACF的法向量,計算法向量與BE的內積,證明該內積為0即可得到線面平行.
(2)利用第(1)問平面ACF的法向量,再求出面DCF的法向量,則二面角即為兩法向量所成角或者其補角,故兩法向量夾角的余弦值為滿足,即可求出PA的長度.
試題解析：
（1）由，得，．
又面，所以以分別為軸建立坐標系如圖．
則
設，則 ．
設，得：
．
解得：，，，
所以．                               5分
所以,，．
設面的法向量為，則，取．
因為，且面，所以平面． 9分

（2）設面法向量為， 因為，，
所以，取 ．             11分
由，得．
，，所以．               15分