Question

正三棱錐底面三角形的邊長為

3

，側棱長為2，則其體積為

 

．

Answer 1

分析：由正三棱錐的底面邊長是

3

，可以求出底面積和底面△的高；由側棱長是2，可以求出側面上的斜高，從而求得三棱錐的高；即得三棱錐的體積．

解答：解：如圖，在正三棱錐P-ABC中，底面邊長AB=

3

，側棱長PA=2，
設頂點P在底面的射影為O，連接CO并延長，交AB與點D；
連接PD，則CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，AB=

3

，
∴CD=

3

2

•AB=

3

2

×

3

=

3

2

，
OD=

1

3

•CD=

1

3

×

3

2

=

1

2

，
PD=

PA2-AD2

=

22-( 3 2 )2

=

13

2

，
∴PO=

PD2-OD2

=

( 13 2 ) 2-( 1 2 )2

=

3

，
所以，正三棱錐P-ABC的體積為：
V=

1

3

•S_△ABC•PO=

1

3

×

3

4

×(

3

)2×

3

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題考查了三棱錐體積公式的應用，關鍵是求出三棱錐的高；求高時借助空間中垂直關系和勾股定理得出，是基礎題．