Question

已知a、b是不全為0的實(shí)數(shù)，求證：方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)一定有實(shí)根.

Answer 1

證明見解析

證明 若a=0時(shí)，則b≠0，
此時(shí)方程的根為x=，滿足題意.
當(dāng)a≠0時(shí)，令f（x）=3ax²+2bx-（a+b）.
（1）若a(a+b)＜0,
則f（0）·f（）=-（a+b）·(-a)=a（a+b）＜0，
所以f（x）在區(qū)間(0,內(nèi)有一實(shí)根.
（2）若a（a+b）≥0，
則f(f（1）=(-)（2a+b）
=-a²-a（a+b）＜0，
所以f（x）在區(qū)間(，1）內(nèi)有一實(shí)根.
綜上所述，方程3ax²+2bx-(a+b)=0在（0，1）內(nèi)一定有實(shí)根.