Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c滿足：f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，若不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

對n∈N⁺恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=1，an+1=

f(an)

2f(an)+3

；b₁=1，bn+1-bn=

1

an

，記g(n)=

1 a n，(n為奇數) bn，(n為偶數)

，問是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求函數f（x）的解析式，只需找到關于a，b，c的三個方程，解方程組即可．由題意可由f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數得．
（2）先用等差數列前n項和公式求S_n，得，S_n=

3(n+1)

2

，這時不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

可化為

mn

3(n+1) 2

＜

mn+1

3(n+2) 2

，在用作差法解不等式即可．
（3）分別用構造法和累加法求數列{a_n}，{b_n}的通項公式，再代入g(n)=

1 a n，(n為奇數) bn，(n為偶數)

，然后假設存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，分k為奇數和偶數時求k的值．

解答：解：（1）由題意的，f（1）=a+b-c=3，f（-x）=f（x）對任意x∈R都成立，得f（x）=3x．
（2）Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)=3（

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n

n

）=

3

2

（1+n），
∵

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

化為

mn

3(n+1) 2

＜

mn+1

3(n+2) 2

，即

2

3

mn(

1

n+1

-

m

n+2

)＜0對任意n∈N⁺恒成立，顯然m≤0不成立．
當m＞0時，mⁿ＞0，
∴

1

n+1

-

m

n+2

＜0對任意n∈N⁺恒成立，
∴m＞

n+2

n+1

對任意n∈N⁺恒成立．而

n+2

n+1

的最大值為

3

2

，
∴m＞

3

2

．
（3）由a₁=1，an+1=

f(an)

2f(an)+3

，可得

1

an+1

-

1

an

=2，
∴數列{

1

an

}是首項為1，公差為2的等差數列，∴

1

an

=2n-1．
由b₁=1，bn+1-bn=

1

an

，用累加法可得b_n=（n-1）²+1，
∴g(n)=

1 a n，(n為奇數) bn，(n為偶數)

=

2n-1         (n為奇數) (n-1)2+1   (n為偶數)

，
 當k為奇數時，g（k+1）=2g（k），（k+1-1）²+1=2（2k+1）得，k=1或k=3．
當k為偶數時，2k²-6k+3=0無偶數解．
綜上，存在k=1或k=3滿足條件．

點評：本題是數列，函數，不等式的綜合應用，考查面廣，須認真審題，找到個知識點的突破口．