Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點，F（1，0）為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P（不同于A，B），與橢圓在點B處的切線交于點D．當直線l繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得a=2，c=1，由a²=b²+c²，求出b，進而求出橢圓C的標準方程及離心率；
（2）先設出直線l的方程，根據題意，表示出D、E的坐標，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯立，得到交點A、P的坐標關系，因為A點的坐標已知，從而求出點P的坐標，然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關系即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，半焦距為c，
因為A（-2，0）、B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F（1，0）為其右焦點，
所以a=2，c=1．又因為a²=b²+c²，所以b=

a2-c2

=

3

．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

．（5分）
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：
由題意可設直線l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設點P的坐標為（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因為點F坐標為（1，0），
當k=±

1

2

時，點P的坐標為(1，±

3

2

)，點D的坐標為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．
當k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因為|BD|=4|k|所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線l繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．（14分）

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，注意運用方程思想、分類討論、數形結合等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．