Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁作傾斜角為60° 的直線l交橢圓于A，B兩點，ABF₂的內切圓的半徑為

2 3

7

c
（I）求橢圓的離心率；   
（II）若|AB|=8

2

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（I）設直線l的方程為y=

3

(x+c)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用S_△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

 ×4a×

2 3

7

c，還等于三角形的周長乘以三角形內切圓的半徑，由此可求出橢圓的離心率；   
（II）由知（I）知a=

2

b，c=b，|x1-x2| =

4 2 b

7

利用弦長公式|AB|，即可求出橢圓的標準方程．

解答：解：（I）設直線l的方程為y=

3

(x+c)
代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），消去y可得：（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6a2c

3a2+b2

，x1x2=-

3a2c2-a2b2

3a2+b2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4ab2

3a2+b2

∴|y1-y2|=

3

|x1-x2|=

4 3 ab2

3a2+b2

∵S_△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

 ×4a×

2 3

7

c
∴

4 3 ab2

3a2+b2

=

4 3  ac

7

∴a=

2

b
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

∴橢圓的離心率e=

2

2

；   
（II）由知（I）知a=

2

b，c=b，∴|x1-x2| =

4 2 b

7

∴|AB|=

1+3

|x1-x2| =

8 2 b

7

=8

2

，
∴b=7，a=7

2

∴橢圓的標準方程為

x2

98

+

y2

49

=1．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查橢圓的性質，解題時，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理是關鍵．