Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，左焦點(diǎn)為F₁（-3，0），右準(zhǔn)線方程為x=

25

3

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（2）設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)₂為右焦點(diǎn)，若△PF₁F₂為直角三角形，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得

c=3 a2 c = 25 3

可求a，c，進(jìn)而可求b，橢圓方程
（2）由△PF₁F₂為直角三角形，分類討論：①當(dāng)∠PF₂F₁=90°②當(dāng)∠F₂PF₁=90°時(shí)，結(jié)合橢圓定義和勾股定理，可分別進(jìn)行求解

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，----------------------（2分）
由左焦點(diǎn)為F₁（-3，0），右準(zhǔn)線方程為x=

25

3

，得

c=3 a2 c = 25 3

----------------------（4分）
解得：

a=5 c=3

從而b=4．----------------------（6分）
所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1．----------------------（8分）
（2）①當(dāng)∠PF₂F₁=90°時(shí)由（1）可知右焦點(diǎn)為F₂（3，0），所以此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，

16

5

)，
于是△PF₁F₂的面積為S△PF1F2=

1

2

×6×

16

5

=

48

5

，----------------------（12分）
②當(dāng)∠F₂PF₁=90°時(shí)，由橢圓定義和勾股定理得，

PF12+PF22=36，…(1) PF1 +PF2  =10，…(2)

（2）式的平方減去（1）式得PF₁•PF₂=32，但PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=25，所以這種情況不存在．
綜合①②得S△PF1F2=

48

5

．----------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，三角形面積的求解的關(guān)鍵式橢圓性質(zhì)及橢圓第二定義的求解