Question

課本小結與復習的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實數，且a²+b²=1，c²+d²=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國）不等式當n=2時的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立．
請分別用中文語言和數學語言簡潔地敘述柯西不等式，并用一種方法加以證明．

Answer 1

數學語言簡潔地敘述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立；
中文語言簡潔地敘述柯西不等式：
兩個實數的平方和的積 不小于它們積的和的平方．取等號的條件是兩列數對應成比例．
二維形式的證明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²•c²+b²•d²+a²•d²+b² •c²
=a²•c²+2abcd+b²•d²+a²•d² -2abcd+b²•c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立．