Question

【題目】在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是__________．

①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面平面；

③若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得；

④的面積可能等于.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

當(dāng)為直線與平面的交點(diǎn)時(shí)，①正確；平面，即可得②正確；計(jì)算出的條件，可得③正確；面積取得最小值，所以④不正確.

由正方體性質(zhì)可得平面，平面，所以，

是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，

，同理可證，是平面內(nèi)兩條相交直線，

所以平面，平面，所以平面平面，

當(dāng)為直線與平面的交點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面，所以①正確；

根據(jù)①證明方法同理可證：，

可以證得平面，平面，所以平面平面，

所以②正確；

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，得：，即時(shí)，滿足，所以③正確；

，均為直角三角形，，

的最小值為，此時(shí)，面積取得最小值，

，的面積不可能等于，所以④說法錯(cuò)誤.

故答案為：①②③