Question

已知向量

m

=（a-sinθ，-1），

n

=（1，

2

bcosθ），且

m

⊥

n

．
（1）若a=b=

2

2

，求sin2θ；
（2）若b=-

2

2

a，且θ∈（0，

π

2

），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由

m

⊥

n

得出a-sinθ-

2

bcosθ=0
（1）若a=b=

2

2

，有

2

2

-sinθ-cosθ=0，移向平方，求解sin2θ
（2）若b=-

2

2

a，得出a=

sinθ

1+cosθ

=

2sin θ 2 cos θ 2

cos2 θ 2

=tan

θ

2

，將

θ

2

看作整體，利用正切函數性質求解．

解答：解：∵

m

⊥

n

．∴a-sinθ-

2

bcosθ=0
（1）若a=b=

2

2

，有

2

2

-sinθ-cosθ=0，即sinθ+cosθ=

2

2

兩邊平方得1+sin2θ=

1

2

，sin2θ=-

1

2

．
（2）若b=-

2

2

a，則a-sinθ+acosθ=0，
于是a=

sinθ

1+cosθ

=

2sin θ 2 cos θ 2

cos2 θ 2

=tan

θ

2

因θ∈（0，

π

2

），

θ

2

∈（0，

π

4

），tan

θ

2

∈（0，1）
所以實數a的取值范圍是（0，1）

點評：本題是向量與三角函數的結合，考查向量垂直的坐標表示，二倍角公式的應用，三角函數的性質．