Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
（Ⅰ）證明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1 ， A1B，
因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1 ， ∠BAA1=60°，
所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，
又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC兩兩垂直．
以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，
可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），
則=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），
設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，
可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==-，
又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，
故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．

【解析】（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OAspan>1 ， A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；
（Ⅱ）易證OA，OA1 ， OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標系，可得 ， ， 的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則 ， 可解得=（ ， 1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即為所求正弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．