Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.
（Ⅰ）將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式，并指出f（x）的周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在[π，

17π

12

]上的最大值和最小值

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.化簡(jiǎn)為Asin（ωx+φ）+B的形式，然后求出f（x）的周期
（Ⅱ）根據(jù)題意，求出f(x)在[π，

17π

12

]上的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性的意義分別求出最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-2=

1

2

(sinx+cosx)-

3

2

=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

．
故f（x）的周期為2kπ{k∈Z且k≠0}．
（Ⅱ）由π≤x≤

17

12

π，得

5

4

π≤x+

π

4

≤

5

3

π．
因?yàn)閒（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

在[π，

5π

4

]上是減函數(shù)，
在[

5π

4

，

17π

12

]上是增函數(shù)．
故當(dāng)x=

5π

4

時(shí)，f（x）有最小值-

3+ 2

2

；
而f（π）=-2，f（

17

12

π）=-

6+ 6

4

＜-2，
所以當(dāng)x=π時(shí)，f（x）有最大值-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查Asin（ωx+φ）+B中參數(shù)的物理意義，以及三角函數(shù)的周期性，還有三角函數(shù)的最值．通過(guò)求f（x）在已知區(qū)間上的單調(diào)性來(lái)求最值．屬于基礎(chǔ)題．