Question

【題目】已知函數的定義域是,對任意,當時,．關于函數給出下列四個命題：①函數是周期函數；②函數是奇函數；③函數的全部零點為；④當時,函數的圖象與函數的圖象有且只有三個公共點．其中真命題的序號為__________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①：利用,根據函數周期的定義可以判斷出本命題的真假；

②：利用奇函數的定義可以判斷出本命題的真假；

③：結合函數的周期性和當時,,可以判斷出本命題的真假；

④：根據周期性畫出當時,函數的圖象,在同一直角坐標系內畫出函數的圖象,利用數形結合思想, 可以判斷出本命題的真假；

①：因為,所以,所以函數的周期是2,故本命題是真命題；

②：因為,所以不符合奇函數的定義, 故本命題是假命題；

③：當時,,因此當時,只有,由①可知函數的周期是2,因此函數的全部零點為,故本命題是真命題；

④：當時,,通過周期得到當時,函數的圖象,再畫出函數的圖象,如下圖所示：

通過圖象可知有三個不同的交點.故本命題是真命題.

故答案為：①③④