Question

知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范圍.

Answer 1

(0,18]

因?yàn)閤>0,y>0,所以30=x+2y+xy
≥2+xy=2+xy,
所以()²+2-30≤0,
所以(-3)(+5)≤0,
所以0<≤3,即0<xy≤18,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=6,y=3時(shí)等號(hào)成立.
所以xy的取值范圍為(0,18].
【一題多解】本題還可用消元的方法:
因?yàn)閤+2y+xy=30,所以y=,
所以xy=x·=
=
=-x+32-=-(x+2)-+34,
又因?yàn)閤>0,
所以(x+2)+≥2=16,
當(dāng)且僅當(dāng)x+2=,即x=6時(shí),等號(hào)成立,
所以xy≤-16+34=18,
當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=3時(shí)等號(hào)成立.
所以xy的取值范圍是(0,18].