Question

（2012•上海）如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數，則四面體ABCD的體積的最大值是

2

3

c

a2-c2-1

．

Answer 1

分析：作BE⊥AD于E，連接CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中點F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可．

解答： 解：作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由題設，B與C都是在以AD為焦點的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，顯然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中點F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面體ABCD的體積的最大值，因為AD是定值，只需三角形EBC的面積最大，因為BC是定值，所以只需EF最大即可，
當△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB=

a2-c2

，EF=

a2-c2-1

，
所以幾何體的體積為：

1

3

×2×

a2-c2-1

×2c×

1

2

=

2

3

c

a2-c2-1

．
故答案為：

2

3

c

a2-c2-1

．

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力．