Question

為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲得，國家將給予補償．
（I）當x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？
（II）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（I）當x∈[200，300]時，該項目獲利S=200x-(

1

2

x2-200x+80000)＜0，說明不獲利；當x=300時，S取得最大值-5000，說明國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損；
（II）二氧化碳的每噸平均處理成本為：

y

x

=

1 3 x2 -80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

；分段討論，①當x∈[120，144）時，求出

y

x

的最小值；②當x∈[144，500]時，求出

y

x

的最小值；比較得每月處理量為多少噸時，能使每噸的平均處理成本最低．

解答：解：（I）當x∈[200，300]時，設該項目獲利為S，則
S=200x-(

1

2

x2-200x+80000)=-

1

2

x²+400x-80000=-

1

2

（x-400）²；
當x∈[200，300]時，S＜0，此時該項目不會獲利；
當x=300時，S取得最大值-5000，所以，國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損．
（II）由題意知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

y

x

=

1 3 x2 -80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

，
則：①當x∈[120，144）時，

y

x

=

1

3

x²-80x+5040=

1

3

（x-120）²+240，∴當x=120時，

y

x

取得最小值240；
②當x∈[144，500]時，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200，
當且僅當

1

2

x=

80000

x

，即x=400時，

y

x

取得最小值200；
∵200＜240，∴當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評：本題考查了分段函數模型的應用題目，并且考查了求二次函數的最值，利用基本不等式求函數的最值等問題，是中檔題．