Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數，求函數的單調區間；

（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點處的切線，證明：在區間上存在唯一的，使得直線l與曲線相切并求出此時n的值.（參考數據：）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區間和，無減區間；（Ⅱ）證明詳見解析，.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域，求導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數的單調區間；

（Ⅱ）通過導數的幾何意義求出切線的方程為，再設直線與曲線相切于點，進而可得，結合（Ⅰ）中的結論再證明在區間上存在且唯一，計算得出，即可得結果.

（Ⅰ）函數的定義域為，

，.

∵且，∴

∴函數的單調遞增區間為和，無減區間.

（Ⅱ）∵，∴，

∴切線的方程為，即，①

設直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴，∴.

∴直線也為，即，②

由①②得，∴.

下證：在區間上存在唯一的.

由（Ⅰ）可知，在區間上遞增.

又，，

結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，且