Question

設直線l與球O有且僅有一公共點P，從直線l出發的兩個半平面截球O的兩個截面圓O₁和圓O₂的半徑1和2，若這兩個半平面α，β所成二面角為120，則球O的表面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，設出球的半徑，通過解三角形，利用轉化思想求出球的半徑的平方，然后求出球的表面積．
解答：解：過P與O作直線l的垂面，畫出截面圖形，如圖
設球的半徑為r，作OE⊥QP，OF⊥PM，則EP=1，PF=2，
設∠OPE=α，，
所以 ，
即sin ，sin²α+cos²α=1解得
cos²α=
所以r²=；
所以球的表面積為：4πr²=4π×=．
故答案為：．
點評：本題是中檔題，考查二面角的有關知識，考查轉化思想的應用，空間想象能力，計算能力．