Question

【題目】已知函數，.

（1）求 函數的單調區間；

（2）定義：對于函數，若存在，使成立，則稱為函數的不動點. 如果函數存在兩個不同的不動點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為 ；（2）.

【解析】

（1）先確定函數的定義域，再求導，討論的取值，得到函數的單調區間；

（2）依題意可得，存在兩個不動點，所以方程有兩個實數根，即有兩個解， 令，利用導數研究函數的單調性、極值，即可求出參數的取值范圍；

解：（1）的定義域為，

對于函數，

①當時，在恒成立.

在恒成立.

在為增函數；

② 當時，由，得；

由，得；

在為增函數，在減函數.

綜上，當時，的單調遞增區間為

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（2），

存在兩個不動點，方程有兩個實數根，即有兩個解，

令，，

令，得，

當時，單調遞減；

當時，單調遞增；

，

設,則,,即時,

將兩邊取指數,則

當時,

當時 ,

當時，有兩個不同的不動點