Question

（2013•大連一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知圓上的

AC

=

BD

，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．
（Ⅰ）證明：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的長．

Answer 1

分析：（I）由同圓中等圓弧的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出證明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性質(zhì)可得

CD

BC

=

BC

EB

，即可求出BC．

解答：（Ⅰ）證明：∵

AC

=

BD

，∴∠ABC=∠BCD． 
又∵EC為圓的切線，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）∵EC為圓的切線，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴

CD

BC

=

BC

EB

，
∴BC²=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．

點評：熟練掌握同圓中等圓弧的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．