Question

過曲線y=x²上一點Q₀（1，1）作曲線的切線，交x軸于點P₁；過P₁作垂直于x軸的直線交曲線于Q₁，過Q₁作曲線的切線交x軸于P₂；過P₂作垂直于x軸的直線交曲線于Q₂；如此繼續下去得到點列：P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，設P_n的橫坐標為x_n．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）求x_n（用只含有字母n的代數式表示）．
（Ⅲ）令，求數列{a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為y'=2x，所以曲線在點Q₀處的切線方程為y-1=2（x-1）．
令y=0，得，即．
（Ⅱ）曲線在點處的切線方程為．
令y=0，得，即．
所以{x_n}是以為首項，為公比的等比數列．
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
∴①
∴②
由①-②得，=．
∴．
分析：（Ⅰ）求導函數，求得曲線在點Q₀處的切線方程，令y=0，可求x₁；
（Ⅱ）曲線在點處的切線方程為，令y=0，得，即，從而可得{x_n}是以為首項，為公比的等比數列，由此可求x_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，所以，利用錯位相減法可求數列{a_n}的前n項的和S_n．
點評：本題考查導數的幾何意義，考查等比數列的判定，考查等比數列的通項，考查錯位相減法求數列的和，屬于中檔題．