Question

（本題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍
（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值和最小值
（3）求證：對(duì)任意大于1的正整數(shù)，恒成立

Answer 1

（1）；（2），；（3）見解析。

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函
數(shù)大于等于0恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實(shí)數(shù)a的不等式問題即可求出正實(shí)數(shù)a的取值范
圍；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進(jìn)而求出其在[，2]上的單調(diào)性即可
求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）運(yùn)用第一問的結(jié)論f(x)>0，放縮法得打?qū)?br />數(shù)式的不等式，進(jìn)而的求和證明。
解：（1）由已知得，依題意得對(duì)任意恒成立
即對(duì)任意恒成立，而
（2）當(dāng)時(shí)，，令，得，若時(shí)，，若時(shí)，，故是函數(shù)在區(qū)間上的唯一的極小值，也是最小值，即，而，
由于，則
（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上為增函數(shù)
當(dāng)，令，則，所以
即
所以
各式相加得
值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到
的，以及利用單調(diào)性確定參數(shù)范圍，不等式的恒成立的證明。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是第一問中根據(jù)單調(diào)遞增性，說明了在給定區(qū)間的導(dǎo)數(shù)恒大于等于
零，得到參數(shù)的取值范圍。第二問，先求解極值和端點(diǎn)值，比較大小得到結(jié)論。