【題目】
、
是雙曲線
的左、右焦點，過的直線
與雙曲線的左右兩支分別交于點
、
.若
為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_________．
【答案】
【解析】
根據雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c= a，結合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.
因為△ABF2為等邊三角形，可知|AB|=|BF2|=|AF2|
A為雙曲線上一點，|A F2|-|A F1| =2a,
B為雙曲線上一點，則|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
由∠ABF2＝600，則∠F1AF2＝1200，已知|F1F2|=2c，
在△F1AF2中應用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-22a4acos120°，
得c2=7a2，則e2＝7e＝
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【題目】橢圓C： 
=1（a＞b＞0）的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，且與橢圓x2+ 
=1有相同離心率，直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足 
，（O為坐標原點），求實數λ取值范圍．
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【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中點，A1E⊥平面ABC．
（I）證明：BC1∥平面 A1EC；
（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．
①求點B到平面ACC1A1的距離；
②求直線CB1與平面ACC1A1所成角的正弦值．
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【題目】如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB=BC=BD=4，E、F分別為棱BC、AD的中點． 
（1）求異面直線AB與EF所成角的余弦值；
（2）求E到平面ACD的距離；
（3）求EF與平面ACD所成角的正弦值．
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【題目】以平面直角坐標系原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，以平面直角坐標系的長度單位為長度單位建立極坐標系．已知直線l的參數方程為 
（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ
（Ⅰ） 求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|．
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【題目】在一個不透明的箱子里放有四個質地相同的小球，四個小球標的號碼分別為1，1，2，3．現甲、乙兩位同學依次從箱子里隨機摸取一個球出來，記下號碼并放回．
（Ⅰ）求甲、乙兩位同學所摸的球號碼相同的概率；
（Ⅱ）求甲所摸的球號碼大于乙所摸的球號碼的概率．
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【題目】已知焦點在x軸的橢圓的離心率與雙曲線3x2-y2=3的離心率互為倒數，且過點
，求：（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M，N，點
，有|MP|=|NP|，求k的取值范圍．
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【題目】已知函數f（x）=lnx+ 
ax2﹣2bx
（1）設點a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；
（2）當a=0，b=﹣ 時，方程2mf（x）=x2有唯一實數解，求正數m的取值范圍．
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