Question

已知關于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區間（-1，1）內，則

a+b-2

a+1

的取值范圍是

(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)

．

Answer 1

分析：由題意關于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區間（-1，1）內，令f（x）=x²+ax+b，可得

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- a 2 )＜0 -1＜- a 2 ＜1

，即

1+a+b＞0 1-a+b＞0 - a2 4 +b＜0 -2＜a＜2

作出此不等式對應的區域，如圖中陰影部分，不包括邊界，由于

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

，而

b-3

a+1

可看作點P（-1，3）與陰影部分內一點（a，b）連線的斜率，由此問題轉化為線性規劃求范圍問題，易解．

解答：解：關于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區間（-1，1）內，令f（x）=x²+ax+b
∴

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- a 2 )＜0 -1＜- a 2 ＜1

，即

1+a+b＞0 1-a+b＞0 - a2 4 +b＜0 -2＜a＜2

此不等式對應的區域圖象如圖陰影部分，不包括邊界．
由于

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

，而

b-3

a+1

可看作點
P（-1，3）與陰影部分內一點（a，b）連線的斜率，如圖紅色線即為符合條件的直線
M，N兩個點為邊界處的點，由于kPM=

3-1

-1+2

=2，kPN=

3-1

-1-2

=-

2

3

，由圖知

b-3

a+1

∈（2，+∞）∪（-∞，-

2

3

）
∴

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

∈(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)
故答案為(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)

點評：本題考查了簡單線性的應用，一元二次方程的根的分布與系數的關系，正確解答本題，能分析出求

a+b-2

a+1

的取值范圍是解題的關鍵，由于本題通過根的分布的知識得出的不等式組較復雜，不宜將求

a+b-2

a+1

的取值范圍的問題轉化為函數的值域求解，轉化為線性規劃知識求解是本題的難點也是重點，本題考查了轉化的思想，數形結合的思想，考查轉化化歸的能力及數形結合解題的意識，綜合性強，是能力型題