Question

在雙曲線的一支上有不同的三點A（x₁,y₁）、B（x₂,6）、C(x₃,y₃),與焦點F（0，5）的距離成等差數列.

（1）求y₁+y₃的值；

（2）求證：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求出定點坐標.

Answer 1

（1）解：∵,

∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距離成等差數列，∴2（ey₂-a）=(ey₁-a)+(ey₃-a).

∴y₁+y₃=2y₂=12.

(2)證明：由題意，得

①-②，得(y₁-y₃)(y₁+y₃)-(x₁-x₃)·(x₁+x₃)=0.

∴==.

若x₁+x₃=0.

則k_AC=0,y₁=y₃=y₂=6,A、B、C三點共線，這是不可能的.

∴x₁+x₃≠0.則AC的中垂線方程為y-6=(x-),

即y=.因此，AC的中垂線過定點（0,）.